Question

【题目】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点．

（1）求证：直线AE⊥平面A1D1E；
（2）求二面角E﹣AD1﹣A1的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

A（1，0，0），E（1，1，1），A1（1，0，2），D1（0，0，2），

=（0，1，1）， =（0，1，﹣1）， =（﹣1，0，0），

=0， =0，

∵AE⊥A1E，AE⊥A1D1，

∵A1E∩A1D1=A1，∴直线AE⊥平面A1D1E．

（2）解： =（0，1，1）， =（﹣1，0，2），

设平面AED1的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=2，得 =（2，﹣1，1），

又平面A1D1A的法向量 =（0，1，0），

设二面角E﹣AD1﹣A1的平面角的平面角为θ，

则cosθ= = = ．

∴二面角E﹣AD1﹣A1的平面角的余弦值为 ．

【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线AE⊥平面A1D1E．（2）求出平面AED1的法向量和平面A1D1A的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AD1﹣A1的平面角的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．