题目内容

如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,其中AB=
2
2
,DC=
2
,AD=1
,AD⊥AB,顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上,F是PC的中点.
(Ⅰ)求证:BF平面PAD;
(Ⅱ)求证:平面PAC⊥平面PDB;
(Ⅲ)若PA=PC=1,求三棱锥P-DBF的体积.
(Ⅰ)证明:取PD中点E,连结EA、EF,
∵E、F分别是PD、PC的中点,

∴EFDC,又DCAB,且EF=
1
2
DC=AB

∴EFAB,且EF=AB
∴四边形EFBA是平行四边形,∴AEBF,
又∵AE?面PAD,BF?面PAD,
∴EF平面PAD;
(II)证明:顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上,设为H,则PH⊥平面ABCD,
∵BD?平面ABCD,∴PH⊥BD,
∵Rt△ABD中,
AB
AD
=
2
2
,Rt△DAC中,
AD
DC
=
1
2
=
2
2

∴Rt△ABDRt△DAC,
∴∠DAC=∠ABD,故∠ABD+∠CAB=90°即AC⊥BD,
又∵PH∩AC=H,PH、AC?平面PAC,∴BD⊥平面PAC,
BD?平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC;
( III)∵PA=PC=1,
∴顶点P在底面ABCD的射影H落在线段AC的中点上,且,AC=
1+2
=
3

∴S△BCD=S△ACD=
1
2
×1×
2
,AH=
1-(
3
2
)
2
=
1
2

∵F分别是PC的中点,∵F到面PDB的距离是C到面PDB的距离的
1
2

VP-DBF=
1
2
VC-PDB=
1
2
VP-DBC
=
1
2
×
1
3
×(
1
2
×
2
×1)×
1
2
=
2
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