题目内容
如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,其中AB=
,DC=
,AD=1,AD⊥AB,顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上,F是PC的中点.
(Ⅰ)求证:BF∥平面PAD;
(Ⅱ)求证:平面PAC⊥平面PDB;
(Ⅲ)若PA=PC=1,求三棱锥P-DBF的体积.

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2 |
2 |
(Ⅰ)求证:BF∥平面PAD;
(Ⅱ)求证:平面PAC⊥平面PDB;
(Ⅲ)若PA=PC=1,求三棱锥P-DBF的体积.

(Ⅰ)证明:取PD中点E,连结EA、EF,
∵E、F分别是PD、PC的中点,

∴EF∥DC,又DC∥AB,且EF=
DC=AB,
∴EF∥AB,且EF=AB
∴四边形EFBA是平行四边形,∴AE∥BF,
又∵AE?面PAD,BF?面PAD,
∴EF∥平面PAD;
(II)证明:顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上,设为H,则PH⊥平面ABCD,
∵BD?平面ABCD,∴PH⊥BD,
∵Rt△ABD中,
=
,Rt△DAC中,
=
=
,
∴Rt△ABD∽Rt△DAC,
∴∠DAC=∠ABD,故∠ABD+∠CAB=90°即AC⊥BD,
又∵PH∩AC=H,PH、AC?平面PAC,∴BD⊥平面PAC,
BD?平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC;
( III)∵PA=PC=1,
∴顶点P在底面ABCD的射影H落在线段AC的中点上,且,AC=
=
,
∴S△BCD=S△ACD=
×1×
,AH=
=
,
∵F分别是PC的中点,∵F到面PDB的距离是C到面PDB的距离的
,
VP-DBF=
VC-PDB=
VP-DBC=
×
×(
×
×1)×
=
.

∵E、F分别是PD、PC的中点,

∴EF∥DC,又DC∥AB,且EF=
1 |
2 |
∴EF∥AB,且EF=AB
∴四边形EFBA是平行四边形,∴AE∥BF,
又∵AE?面PAD,BF?面PAD,
∴EF∥平面PAD;
(II)证明:顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上,设为H,则PH⊥平面ABCD,
∵BD?平面ABCD,∴PH⊥BD,
∵Rt△ABD中,
AB |
AD |
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2 |
AD |
DC |
1 | ||
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2 |
∴Rt△ABD∽Rt△DAC,
∴∠DAC=∠ABD,故∠ABD+∠CAB=90°即AC⊥BD,
又∵PH∩AC=H,PH、AC?平面PAC,∴BD⊥平面PAC,
BD?平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC;
( III)∵PA=PC=1,
∴顶点P在底面ABCD的射影H落在线段AC的中点上,且,AC=
1+2 |
3 |
∴S△BCD=S△ACD=
1 |
2 |
2 |
1-(
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1 |
2 |
∵F分别是PC的中点,∵F到面PDB的距离是C到面PDB的距离的
1 |
2 |
VP-DBF=
1 |
2 |
1 |
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1 |
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1 |
3 |
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2 |
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1 |
2 |
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