题目内容

18.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=2$\sqrt{3}$,A=$\frac{π}{6}$,则△ABC的面积为(  )
A.$2\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$B.$2\sqrt{3}$C.$2\sqrt{3}$或$4\sqrt{3}$D.$\sqrt{3}$

分析 根据正弦定理和条件求出sinB的值,由内角的范围求出角B的值,由内角和定理和三角形面积公式再求出三角形的面积.

解答 解:由题意知,a=2,b=2$\sqrt{3}$,A=$\frac{π}{6}$,
根据正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$,则sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
又b>a,则B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$,
当B=$\frac{π}{3}$时,C=$π-\frac{π}{6}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$,△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$;
当B=$\frac{2π}{3}$时,C=$π-\frac{π}{6}-\frac{2π}{3}$=$\frac{π}{6}$,△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$,
综上可得,△ABC的面积是2$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$,
故选:A.

点评 本题考查了正弦、余弦定理,内角和定理,以及三角形的面积公式的应用,属于中档题.

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