题目内容
【题目】设顶点在原点,焦点在轴上的拋物线过点
,过
作抛物线的动弦
,
,并设它们的斜率分别为
,
.
(Ⅰ)求拋物线的方程;
(Ⅱ)若,求证:直线
的斜率为定值,并求出其值;
(III)若,求证:直线
恒过定点,并求出其坐标.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析(III)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)先利用焦点在轴上设出抛物线的方程,再代点进行求解;(Ⅱ)在抛物线上设点,利用斜率公式求相关直线的斜率,利用斜率和为0求出等量关系,进而可以证明;(III)利用斜率之积为定值得到等量关系,再写出直线的点斜式方程,进而得到结论.
试题解析:(Ⅰ)依题意,可设所求拋物线的方程为,
因拋物线过点,故
,拋物线的方程为
.
(Ⅱ)设,则
,
同理
,∴
,
.
,即直线
的斜率恒为定值,且值为
.
(III),∴
,∴
.
直线的方程为
,即
.
将代入上式得
即为直线
的方程,
所以直线恒过定点
,命题得证.
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