题目内容
【题目】已知抛物线关于
轴对称,顶点在坐标原点
,直线
经过抛物线
的焦点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若不经过坐标原点的直线
与抛物线
相交于不同的两点
,
,且满足
,证明直线
过
轴上一定点
,并求出点
的坐标.
【答案】(1) (2)(2,0)
【解析】试题分析:(1)由直线经过抛物线
的焦点可求出抛物线
的标准方程;(2)由题意,直线
不与
轴垂直,设直线
的方程为
,
,联立直线与抛物线的方程,由韦达定理得
与
,再由
,即可求出
,从而求出定点坐标.
试题解析:(1)由已知,设抛物线的标准方程为
∴
∴
∴抛物线的标准方程为
.
(2)由题意,直线不与
轴垂直,设直线
的方程为
,
.
联立消去
,得
.
∴,
,
,
∵
∴
又∵,
∴
∴
∴或
∵
∴(此时
)
∴直线的方程为
,
故直线过
轴上一定点
.
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