Question

【题目】已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比值为常数，记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)若直线与曲线相交于不同的两点， ，直线与曲线相交于不同的两点 ，且，求以， ， ， 为顶点的凸四边形的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）曲线的方程为；（2）四边形的面积的最大值为4.

【解析】试题分析：（1）设，根据题意，动点的轨迹为集合，得，化简求解即可；

（2）联立消去，得，利用两点距离公式及韦达定理求得，同理可得，由得，设两平行线间的距离为， 代入求解即可.

试题解析：

（1）设，动点到直线： 的距离为，

根据题意，动点的轨迹为集合

由此，得

化简，得

∴曲线的方程为.

（2）设

联立消去，得.

∴，

∴，

同理可得

∵，

∴

又，∴

由题意，以为顶点的凸四边形为平行四边形

设两平行线间的距离为，则

∵，∴

则

∵（当且仅当时取等号，此时满足），

∴四边形的面积的最大值为4.