题目内容
【题目】已知函数,
其中
,
(1)若是函数
的极值点,求实数
的值及
的单调区间;
(2)若对任意的,
使得
恒成立,且
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)或
;(2)
【解析】试题分析:(1)求导,先利用求得
值,再进行验证;(2)先将问题转化为对任意的
时,都有
,先分别利用导数求出两个函数的最值,要注意分类讨论思想的应用.
试题解析:(1),其定义域为
,
;又
是函数
的极值点,
,即
,
或
;
经检验, 或
时,
是函数
的极值点,
或
;
(2)假设存在实数,对任意的
,
都有
成立,
等价于对任意的
时,都有
,
当时,
.
函数
在
上是减函数.
.
,且
,
,
①当且
时,
,
函数
在
上是增函数.
.
由,得
,又
,
不合题意.
②当时,若
,则
,
若,则
,
函数
在
上是减函数,在
上是增函数.
,得
,
.
综上,存在实数的取值范围为
.
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