题目内容
【题目】设为实数,函数
.
(1)求证: 不是
上的奇函数;
(2)若是
上的单调函数,求实数
的值;
(3)若函数在区间
上恰有3个不同的零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】试题分析:(1)由无解,即可得结论;(2)分三种情况讨论,结合二次函数的图像及单调性,排除不合题意的
值即可.(3)三种情况分别结合函数单调性判断出函数零点个数,即可得出结果.
试题解析:(1)假设是
上的奇函数,
则对任意的,都有
(*)
取,得
,即
,解得
,
此时,所以
,从而
,
这与(*)矛盾,所以假设不成立,所以不是
上的奇函数;
(2),
①当时,对称轴
,所以
在
上单调递减,在
上单调递增,在
上单调递减,不符;
②当时,对称轴
,所以
在
上单调递减,在
上单调递增,在
上单调递减,不符;
③当时,对称轴
,所以
在
上单调递减,在
上单调递减,所以
是
上的单调减函数.
综上, .
(3)①当时,由(2)知,
是
上的单调减函数,至多1个零点,不符;
②当时,由(2)知,
,所以
在
上单调递减,
所以在
上至多1个零点,不符;
③当时,由(2)知,
,所以
在
上单调递减,在
上单调递增,在
上单调递减.
因为在区间
上恰有3个零点,
所以,
,解得
或
,又
,故
,综上,实数
的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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