题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,讨论函数
的单调性;
(2)设,当
时,若对任意
,当
时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,
在
上单调减,当
时,在
和
上,
单调减,在
上,
单调增;(2)
.
【解析】试题分析:(1)直接利用函数与导数的关系,求出函数的导数,再讨论函数的单调性;
(2)利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出
在闭区间
上的最大值,然后解不等式求参数.
试题解析:(Ⅰ)函数的定义域为
,
令,则
,
(
)舍去
令,则
,
令,则
所以当时,函数
单调递增;当
时,函数
单调递减
(2)当时,
由(1)可知的两根分别为
,
令,则
或
,
令,则
可知函数在
上单调递减,在
上单调递增,
所以对任意的,有
,
由条件知存在,使
,
所以
即存在,使得
分离参数即得到在
时有解,
由于(
)为减函数,故其最小值为
,
从而
,所以实数
的取值范围是
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