Question

7．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+m}$是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据奇函数的定义，构造关于a的方程组，容易求出a的值．
（Ⅱ）根据解析式的特点，利用反表示法，结合指数函数的图铃和性质，可求函数的值域；

解答 解：（Ⅰ）因为函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+m}$定义在R上的奇函数，
所以f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+m}$=$\frac{{-（2}^{x}-1）}{{m2}^{x}+1}$=-f（x）=$\frac{{-（2}^{x}-1）}{{2}^{x}+m}$，
解得：m=1；
（Ⅱ）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，则2^x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，
由2^x＞0，得 $\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$＞0，
∴f（x）∈（-1，1），
即f（x）的值域为（-1，1）．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，根据奇偶性的定义求出m值，是解决该类问题的关键．