Question

16．已知椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，一个过点P（2，-3）的双曲线的长轴的端点为椭圆的焦点，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 先求出椭圆长轴端点，可得双曲线的焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），焦点在x轴上且c=2，再利用双曲线的定义，求出a，可得b，即可求双曲线的标准方程．

解答 解：由椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，知：椭圆的长轴端点为（-2，0）和（2，0），
所以，双曲线的焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），焦点在x轴上且c=2．
由双曲线的定义知，2a=|$\sqrt{（-2-2）^{2}+（0+3）^{2}}$-$\sqrt{（2-2）^{2}+（0+3）^{2}}$|=5-3=2．
所以a=1，
所以b=$\sqrt{3}$，
所以双曲线的标准方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查双曲线的定义与方程，考查学生的计算能力，比较基础．