Question

3．设函数f（x）=$\frac{{a{x^2}+1}}{bx+c}$是奇函数（a，b，c均为整数）且f（1）=2；f（2）＜3
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）x＜0时，用单调性定义判断f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的性质以及函数取值，建立方程关系，求a，b，c的值；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义进行判断即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=$\frac{{a{x^2}+1}}{bx+c}$是奇函数，由定义域关于原点对称得c=0．----------（2分）
又f（1）=$\frac{a+1}{b}$=2，即a=2b-1，
f（2）=$\frac{4a+1}{2b}$＜3，
即$\frac{2b-3}{2b}＜0$，
解得0＜b＜$\frac{3}{2}$---------------------------------------------------（4分）
又a，b，c均为整数，得b=a=1-----------------------------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=$\frac{x^2+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，
设x₁＜x₂≤-1，
f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）$•\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$--------------（10分），
∵x₁＜x₂≤-1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（-∞，-1]上单调递增；
同理，可证f（x）在[-1，0）上单调递减．
故当x＜0，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0）上单调递减．--------------------（12分）

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．