题目内容
【题目】已知分别是椭圆
的左、右焦点,动点
在
上,连结
并延长
至
点,使得
,设点
的轨迹为
.
(1)求的方程;
(2)设为坐标原点,点
,连结
交
于
点,若直线
的斜率与直线
的斜率存在且不为零,证明: 这两条直线的斜率之比为定值.
【答案】(1);(2)2
【解析】试题分析:(1)由椭圆方程可得焦点坐标为,由
可得
,结合点
在
上可得
,设出
坐标,利用两点间距离公式可得结果;(2)设
,直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,利用两点间斜率计算公式可得
,
满足圆的方程,
满足椭圆的方程,当
时,可直接计算
,当
时,由点在直线
上,故斜率相等,平方结合等比定理化简可得
,结合
,代入可得最后结果.
试题解析:(1)设椭圆的长轴为
,短轴长为
,焦距为
,则
,所以
.因为
,所以
,又点
在
上,故
,所以
.设
,则
,化简得
.所以
.
(2)设,直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,则
,
,所以
.因为
,则
,同理
,当
时,
或
,此时
.当
时,因为
在直线
上,则
,所以
,而
,因为
,所以
,又
,可得
,所以
.综上,两条直线的斜率之比为定值2.
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