题目内容
【题目】对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对任意x∈[m,n]均有|f(x)﹣g(x)|≤1,则称f(x)与g(x)在[m,n]上是接近的;否则称f(x)与g(x)在[m,n]上是非接近的.现有两个函数f1(x)=loga(x﹣3a),与f2(x)=loga (a>0,a≠1),给定区间[a+2,a+3].
(1)若f1(x)与f1(x)在给定区间[a+2,a+3]上都有意义,求a的取值范围;
(2)讨论f1(x)与f1(x)在给定区间[a+2,a+3]上是否是接近的?
【答案】
(1)解:要使f1(x)与f2(x)有意义,则有 ,
要使f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上都有意义,等价于: ,所以0<a<1
(2)解:f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上是接近的,
|f1(x)﹣f(x2)|≤1|loga(x﹣3a)﹣ |≤1|loga[(x﹣3a)(x﹣a)]|≤1a≤(x﹣2a)2﹣a2
对于任意x∈[a+2,a+3]恒成立.
设h(x)=(x﹣2a)2﹣a2,x∈[a+2,a+3],
且其对称轴x=2a<2在区间[a+2,a+3]的左边,
,
所以当 ,时,f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上是接近的
【解析】(1)要使f1(x)与f2(x)有意义,则有 ,即
,从而求出a的取值范围.(2)f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上是接近的,
|f1(x)﹣f(x2)|≤1|loga(x﹣3a)﹣ |≤1|loga[(x﹣3a)(x﹣a)]|≤1a≤(x﹣2a)2﹣a2
对于任意x∈[a+2,a+3]恒成立.
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