Question

【题目】已知函数(为自然对数的底数).

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)若，，试求函数极小值的最大值.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是； （2）1.

【解析】

（I）计算导函数，构造函数，判定单调性，得到的单调性，即可。（II）得到的解析式，结合导函数判定单调性，得到极小值，构造函数，结合导函数，计算该函数的极值，即可。

(Ⅰ)易知，且.

令，则，

∴函数在上单调递增，且.

可知，当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

(Ⅱ)∵，∴.

由(Ⅰ)知，在上单调递增，

当时，；当时，，则有唯一解.

可知，当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

∴函数在处取得极小值，且满足.

∴.

令，则.

可知，当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

∴.

∴函数极小值的最大值为1.