题目内容
【题目】已知椭圆C：
（
）的左、右焦点分别为
，
且椭圆上存在一点P，满足.
，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知A，B分别是椭圆C的左、右顶点，过
的直线交椭圆C于M，N两点，记直线
，
的交点为T，是否存在一条定直线l，使点T恒在直线l上？
【答案】（1）
；（2）存在.
【解析】
（1）在
内利用余弦定理求得
，根据椭圆的定义求得
，由此求得
，从而求得椭圆
的标准方程.
（2）设
，
，
，利用
、
求得
的关系式，设
的方程为
与椭圆的方程联立，并写出韦达定理，并代入上述求得的的关系式，由此判断出
横在直线
上.
（1）设
，内，由余弦定理得
，
化简得
，解得
，
故
，∴
，
所以椭圆C的标准方程为
（2）已知
，
，设，，由
，①
，②
两式相除得
.又
，
故
，③
设的方程为，代入整理，
得
，
恒成立.
把
，
代入③，
得
，得到，故点T在定直线上.
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