题目内容
【题目】椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，离心率
，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过坐标原点的直线
交椭圆于
两点，
在第一象限，
轴，垂足为
，连接
延长交椭圆于点
.
①求证：
；
②求
面积最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析②
【解析】
（1）结合离心率
，以及
，计算即得解;
（2）设直线
方程为
，与椭圆联立，可求得P，Q坐标，于是直线
的斜率为
，方程为
，联立求得G点坐标，利用数量积运算即得证；表示
的面积
，利用均值不等式，即得解.
（1）由
的焦点为
，椭圆离心率
∴
，∴
∴椭圆方程为
（1）①设直线的斜率为
，则其方程为
由
，得
记
，则
于是直线的斜率为，方程为
由
，得
①
设
，则
和
是方程①的解，故
，由此得
从而直线
的斜率为
所以
得证.
②由①得
，
所以的面积
设
，则由
得
，当且仅当
时取等号
因为
在
单调递减，所以
当，即时，
取得最大值.
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