题目内容
【题目】椭圆C:(
)的左、右焦点分别是
、
,离心率为
,过
且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接、
,设
的角平分线PM交C的长轴于点
,求m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线、
的斜率分别为
、
,若
,试证明
为定值,并求出这个定值.
【答案】(1)(2)
(3)见解析,定值为
.
【解析】
(1)根据过且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为3,得到
,根据离心率得到
,从而得到
和
的值;
(2)设,表示出
和
的直线方程,根据题意得到
到两直线的距离相等,得到
和
的关系,从而得到
的范围;
(3)直线的方程为
,与椭圆联立,由
,得到
,表示出
,从而得到
,整理化简后,得到定值.
(1)由于,
将代入椭圆方程
,得
,
由题意知,又
,
所以,
所以椭圆C的方程为
(2)设(
)
又,所以直线
的方程分别为
,
,
由题意知,
由于点在椭圆上,
所以,
,
所以,
因为,
,
所以,所以
.
因此.
(3)设(
),则直线
的方程为
联立
整理得.
由题意得,即
.
又,所以
,
故.
而,
所以,
因此为定值,这个定值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标进行检测,一共抽取了
件产品,并得到如下统计表.该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标
有关,具体见下表.
质量指标 | |||
频数 | |||
一年内所需维护次数 |
(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表,用上述样本数据估计该厂产品的质量指标的平均值(保留两位小数);
(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取件产品,再从
件产品中随机抽取
件产品,求这
件产品的指标
都在
内的概率;
(3)已知该厂产品的维护费用为元/次,工厂现推出一项服务:若消费者在购买该厂产品时每件多加
元,该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这
件产品每件都购买该服务,或者每件都不购买该服务,就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用,并以此为决策依据,判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务?