题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,二次函数
的图象与坐标轴的交点都在圆
上.
(1)求圆的方程;
(2)直线交圆
于
、
两点,且
,求
.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)求出二次函数的图象与坐标轴的三个交点坐标,可知圆心在直线
上,可设圆心坐标为
,利用圆心到二次函数
与
轴的交点以及与
轴的一个交点的距离相等列等式求出
的值,进而可得出圆
的方程;
(2)设点、
,将直线
的方程与圆
的方程联立,列出韦达定理,利用向量数量积的坐标运算结合条件
求出
的值,由此可得出直线
的方程,并计算出圆心到直线
的距离,利用勾股定理可计算出
.
(1)令,得
.所以抛物线
与
轴交点为
.
令,得
,解得
.
所以抛物线与
轴的交点为
,
.
设圆心坐标为,则有
,解得
.
所以圆的半径
,所以圆
的方程为
;
(2)设,
,
联立,消去
并整理得
.
所以,
,
,
由题设可得,解得
,所以
,即
.
又圆心到直线
的距离
,所以
.
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