Question

2．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折
成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论
①BD⊥AC；              
②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D-ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC
其中正确的是（　　）

• A． ①②④
• B． ①②③
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC=$\sqrt{2}$a，
①利用面面垂直的性质定理易证BD⊥平面ADC，又AC?平面ADC，从而可知BD⊥AC，可判断①；
②依题意及设法可知，AB=AC=a，BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，利用勾股定理可求得BC=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=a，从而可判断②；
③又因为DA=DB=DC，根据正三棱锥的定义判断；
④作出平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，利用BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，从而可判断④．

解答 解：解：设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC=$\sqrt{2}$a，
①∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，
又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，BD⊥AD，BD?平面ABD，
∴BD⊥平面ADC，又AC?平面ADC，
∴BD⊥AC，故①正确；
②由A知，BD⊥平面ADC，CD?平面ADC，
∴BD⊥CD，又BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴由勾股定理得：BC=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=a，又AB=AC=a，
∴△ABC是等边三角形，故②正确；
③∵△ABC是等边三角形，DA=DB=DC，
∴三棱锥D-ABC是正三棱锥，故③正确．
④∵△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，

∴∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，
由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误；
综上所述，正确的结论是①②③．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查线面垂直的判定与应用，考查二面角的作图与运算，属于中档题．