题目内容

10.求过点(1,1)且与y=x3相切的直线方程.

分析 设切点为(x0,y0),根据解析式求出导数、y0,由导数的几何意义求出切线的斜率,由点斜式方程求出切线方程,把点(1,1)代入切线方程通过因式分解求出x,代入切线方程化简即可.

解答 解:设切点为(x0,y0),由题意得y=3x2,y0=x03
则切线的斜率k=3x02
∴切线方程是:y-x03=3x02(x-x0),①
∵切线过过点(1,1),∴1-x03=3x02(1-x0),
化简得,2x03-3x02+1=0,
2(x03-1)-3(x02-1)=0,
则(x0-1)(2x02-x0-1)=0,
解得x0=1或x0=$\frac{1}{2}$,代入①得:3x-y-2=0或3x-4y+1=0,
∴切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.

点评 本题考查了导数的几何意义,即点P处的切线的斜率是该点出的导数值,以及切点在曲线上和切线上的应用,注意在某点处的切线和过某点的切线的区别,考查化简、计算能力.

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