题目内容
17．已知圆O过点A（1，1），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求圆O的方程；
（2）若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为N（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求四边形EGFH的面积的最大值；
（3）已知直线l：y=$\frac{1}{2}$x-2，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，试探究直线CD是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由．
分析 （1）设出圆心O坐标，由O与M关于直线x+y+2=0对称，根据中点坐标公式及斜率的关系列出关系式，整理求出a与b的值，再由圆O过点A，确定出圆O方程即可；
（2）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2，则d12+d22=|ON|2，由N坐标求出d12+d22的值，表示出|EF|与|GH|，进而表示出S，利用基本不等式求出最大值即可；
（3）直线CD过定点，定点坐标为（$\frac{1}{2}$，-1），理由为：由题意可得：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设出P坐标，表示出以OP为直径的圆，与圆O方程结合确定出直线CD方程，即可得到直线CD恒过的定点坐标．
解答 解：（1）设圆心O（a，b），根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}+\frac{b-2}{2}+2=0}\\{\frac{b+2}{a+2}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴圆O方程为x2+y2=r2，
把A（1，1）代入得：r2=2，即圆O方程为x2+y2=2；
（2）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2，则d12+d22=|ON|2=$\frac{3}{2}$，
∴|EF|=2$\sqrt{{r}^{2}-{{d}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{2-{{d}_{1}}^{2}}$，|GH|=2$\sqrt{{r}^{2}-{{d}_{2}}^{2}}$=2$\sqrt{2-{{d}_{2}}^{2}}$，
当且仅当2-d12=2-d22，即d1=d2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号，
∴S=$\frac{1}{2}$|EF|•|GH|=2$\sqrt{（2-{{d}_{1}}^{2}）（2-{{d}_{2}}^{2}）}$≤2-d12+2-d22=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
则四边形EGFH的面积最大值为$\frac{5}{2}$；
（3）直线CD过定点，定点坐标为（$\frac{1}{2}$，-1），理由为：
由题意可得：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，
设P（t，$\frac{1}{2}$t-2），其方程为x（x-t）+y（y-$\frac{1}{2}$t+2）=0，即x2-tx+y2-（$\frac{1}{2}$t-2）y=0①，
又C、D在圆O：x2+y2=2上②，
②-①得：直线CD的方程为tx+（$\frac{1}{2}$t-2）y-2=0，即（x+$\frac{y}{2}$）t-2y-2=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{y}{2}=0}\\{2y+2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
则直线CD过定点（$\frac{1}{2}$，-1）．
点评 此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，基本不等式的运用，以及恒过定点的直线方程，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
| A． | 2π | B． | 6π | C． | 4π | D． | $\frac{π}{2}$ |
如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D-ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC
其中正确的是（ ）
| A． | ①②④ | B． | ①②③ | C． | ②③④ | D． | ①③④ |
| A． | $\frac{4}{9}$ | B． | $\frac{1}{9}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |