Question

11．已知函数f（x）=$\frac{（a+1）x-3}{x-1}$，
（1）当a=1时，解关于x的不等式f（x）＜1．
（2）当a∈R时，解关于x的不等式f（x）＜1．
（3）不等式f（x）＜x-a对任意x＞1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）原不等式转化为（x-2）（x-1）＜0，解得即可；
（2）对参数a的取值范围进行讨论，分类解不等式；
（3）转化为x²-2（a+1）x+a+3＞0，对任意x＞1恒成立，根据二次函数的性质即可得到答案．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=$\frac{2x-3}{x-1}$，
∴$\frac{2x-3}{x-1}$＜1，
即$\frac{2x-3}{x-1}$-1＜0，
即$\frac{x-2}{x-1}$＜0，
即（x-2）（x-1）＜0，
解得1＜x＜2，
故不等式不等式f（x）＜1的解集为（1，2）；
（2）当a∈R时，解关于x的不等式f（x）＜1，
∴$\frac{（a+1）x-3}{x-1}$＜1，
∴$\frac{（a+1）x-3}{x-1}$-1＜0，
∴$\frac{ax-2}{x-1}$＜0，
即（ax-2）（x-1）＜0，
当a=0时，解得x＞1，故不等式的解集为（1，+∞），
当a＜0时，不等式（ax-2）（x-1）＜0转化为为（x-1）（x-$\frac{2}{a}$）＞0，解得x＜$\frac{2}{a}$，或x＞1，故不等式的解集为（-∞，$\frac{2}{a}$）∪（1，+∞），
当a＞0时，不等式（x-1）（ax-2）＜0转化为为（x-1）（x-$\frac{2}{a}$）＜0，
①当0＜a＜2时，解得2＜x＜$\frac{2}{a}$，故不等式的解集为（2，$\frac{2}{a}$），
②当a＞2时，解得$\frac{2}{a}$＜x＜2，故不等式的解集为（$\frac{2}{a}$，2），
③当a=2时，即（x-1）²＜0，无解，故不等式的解集为空集．
（3）f（x）＜x-a对任意x＞1恒成立，
∴$\frac{（a+1）x-3}{x-1}$＜x-a对任意x＞1恒成立，
∴（a+1）x-3＜（x-1）（x-a），
∴x²-2（a+1）x+a+3＞0，
当△=4（a+1）²-4（a+3）＜0，解得-2＜a＜1，恒成立，
当△≥0时，即a≤-2或a≥1时，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞0}\\{a+1≤1}\end{array}\right.$，
解得a≤0，
即a≤-2，
综上所述∴a的取值范围（-∞，1）．

点评 本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是对参数的范围进行分类讨论，分类解不等式，此题是一元二次不等式解法中的难题，易因为分类不清与分类有遗漏导致解题失败，解答此类题时要严谨，避免考虑不完善出错．