Question

14．已知数列{a_n}，{b_n}满足a_n+1+2b_n=a_n+2b_n+1，n∈N^*．
（1）若a₁=2，b_n=2n+3，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁=4，b_n=2ⁿ，S_n为数列{a_n}的前n项和，且数列{$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$}的前n项和T_n≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1+2b_n=a_n+2b_n+1，n∈N^*．a₁=2，b_n=2n+3，可得a_n+1-a_n=4，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由a_n+1+2b_n=a_n+2b_n+1，n∈N^*，a₁=4，b_n=2ⁿ，可得a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹．利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得a_n=2ⁿ⁺¹．可得S_n=2ⁿ⁺²-4．于是$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），利用“裂项求和”、不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1+2b_n=a_n+2b_n+1，n∈N^*．a₁=2，b_n=2n+3，
∴a_n+1-a_n=2（2n+5）-2（2n+3）=4，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为2，公差为4，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（2）∵a_n+1+2b_n=a_n+2b_n+1，n∈N^*，a₁=4，b_n=2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=2×2ⁿ⁺¹-2×2ⁿ=2ⁿ⁺¹．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2ⁿ+2^n-1+…+2²+4=2ⁿ⁺¹．
∴S_n=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺²-4．
∴$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n+2}-4）（{2}^{n+3}-4）}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）．
∴T_n=$\frac{1}{8}$[$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$]=$\frac{1}{8}$（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）．
∵T_n≥m恒成立，∴m≤$\frac{1}{8}$（1-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$）=$\frac{1}{12}$，
∴实数m的取值范围是$（-∞，\frac{1}{12}]$．

点评 本题考查了“裂项求和”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．