Question

20．已知数列{a_n}，a₁=3，${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}-4}}{{{a_n}-1}}$，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想a_n的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （ I）由a₁=3，且${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}-4}}{{{a_n}-1}}$，分别令n=1，2，3，即可得出；
（ II）由（1）猜想${a_n}=\frac{2n+1}{n}$，利用数学归纳法进行证明即可．

解答 解：（ I）∵a₁=3，且${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}-4}}{{{a_n}-1}}$，
∴${a_2}=\frac{3×3-4}{3-1}=\frac{5}{2}$，${a_3}=\frac{{3×\frac{5}{2}-4}}{{\frac{5}{2}-1}}=\frac{7}{3}$，${a_4}=\frac{{3×\frac{7}{3}-4}}{{\frac{7}{3}-1}}=\frac{9}{4}$； 
（ II）由（1）猜想${a_n}=\frac{2n+1}{n}$，下面用数学归纳法进行证明．
①当n=1时，${a_1}=\frac{2×1+1}{1}=3$，满足要求，猜想成立；
②假设n=k（k≥1且k∈N^*）时，猜想成立，即${a_k}=\frac{2k+1}{k}$，
那么当n=k+1时，${a_{k+1}}=\frac{{3{a_k}-4}}{{{a_k}-1}}=\frac{{3×\frac{2k+1}{k}-4}}{{\frac{2k+1}{k}-1}}=\frac{2k+3}{k+1}=\frac{{2（{k+1}）+1}}{k+1}$，
这就表明当n=k+1时，猜想成立．
根据（1），（2）可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即${a_n}=\frac{2n+1}{n}$．

点评 本题考查了数学归纳法的应用、观察分析猜想归纳能力，考查了计算能力，属于中档题．