题目内容

14.将一根长4m的木条锯成两段,分别作为钝角△ABC的两边AB和BC,且∠ABC=120°,则使2$\sqrt{3}$m≤AC≤$\sqrt{13}$m的概率是$\frac{\sqrt{13}-2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}$.

分析 根据题意设AB=xcm,则BC=(30-x)cm,利用余弦定理列出关系式,利用二次函数性质即可得到AC取得最小值时x的值,得到满足题意的锯法

解答 解:设AB=xcm,则BC=(4-x)cm,∠ABC=120°,
由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=x2+(4-x)2+x(4-x)=(x-2)2+12,x∈(0,4),
所以AC∈[2$\sqrt{3}$,4],
所以使2$\sqrt{3}$m≤AC≤$\sqrt{13}$m的概率是:$\frac{\sqrt{13}-2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}$;
故答案为:$\frac{\sqrt{13}-2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}$.

点评 此题考查了余弦定理,以及二次函数的性质,以及几何概型的概率求法;熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

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