题目内容
2．已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4$\sqrt{5}$，求l的方程．变式1：点M和圆方程不变，截得弦长为8，求直线l的方程；
变式2：点M和圆方程不变，求截得的弦长最长时，直线l的方程；
变式3：点M和圆方程不变，求截得的弦长最短时，直线l的方程；
变式4：点M和圆方程不变，当直线把圆的周长分为1：2两部分时，求直线l的斜率；
变式5：点M改为（-2.5，-3），圆方程不变，当直线把圆的周长分为1：2两部分，求l的方程．
分析 变式1：把圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标与圆的半径，根据直线与圆的相交弦长为8求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式确定直线的斜率，再验证斜率不存在时是否符合．
变式2：此直线一定过圆心，故可以先求出圆心坐标，然后再用两点式写出所求直线的方程；
变式3：当直线被圆截得弦长最短时，直线与经过M点的直径垂直，由此算出直线的斜率，即可得到所求直线的方程；
变式4：点M和圆方程不变，当直线把圆的周长分为1：2两部分时，圆心角为$\frac{2π}{3}$，圆心到直线的距离为$\frac{5}{2}$，设直线的方程为y+3=k（x+3），利用点到直线的距离等于半径，即可求得直线l的斜率；
变式5：点M改为（-2.5，-3），设直线的方程为y+3=k（x+2.5），利用点到直线的距离等于半径，求得直线l的斜率，即可求得l的方程．
解答 解：变式1：圆的标准方程为：x2+（y+2）2=25，
∴圆的圆心为（0，-2），半径为R=5，
设过点（-3，3）的直线方程为y-3=k（x+3）或x=-3，
∵弦长为8，∴圆心到直线的距离d=3，
∴$\frac{|2+3k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3⇒k=-$\frac{8}{15}$，
又x=-3时，圆心到直线的距离也为3，
∴符合条件的直线有8x+15y-21=0或x+3=0．
变式2：圆x2+y2+4y-21=0可以变为x2+（y+2）2=25，故其圆心为C（0，-2）
被圆截得的弦最长的直线一定过圆心
故直线方程是y=$\frac{1}{3}$x-2；
整理得：x+2y-2=0；
变式3：kCM=$\frac{1}{3}$，∴截得的弦长最短时，直线l的方程为y+3=-3（x+3），即3x+y+12=0；
变式4：点M和圆方程不变，当直线把圆的周长分为1：2两部分时，圆心角为$\frac{2π}{3}$，圆心到直线的距离为$\frac{5}{2}$，
设直线的方程为y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0，∴$\frac{|3k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{5}{2}$，∴11k2-24k-21=0，∴直线l的斜率k=3或-$\frac{7}{11}$；
变式5：点M改为（-2.5，-3），设直线的方程为y+3=k（x+2.5），即kx-y+2.5k-3=0，∴$\frac{|2.5k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{5}{2}$，∴25k2-20k+4=0，∴直线l的斜率k=-$\frac{21}{20}$，l的方程为21x+20y+112.5=0．
点评 本题考查了直线与圆的相交弦长问题及点到直线的距离公式，直线与圆的相交弦长，属于中档题．
暑假作业海燕出版社系列答案| A． | {1，2} | B． | {2，4} | C． | {1，2，4} | D． | {1，2，2，4} |