题目内容
7．非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0，当|2a+b|取得最大值时，则$\frac{b}{a}$的值为$\frac{2}{3}$．分析 变形可得$\frac{c}{4}$=（a-$\frac{b}{4}$）2+$\frac{15}{16}$b2，由柯西不等式可得．
解答 解：∵非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0，
∴$\frac{c}{4}$=a2-$\frac{1}{2}$ab+b2=（a-$\frac{b}{4}$）2+$\frac{15}{16}$b2，
由柯西不等式可得（a-$\frac{b}{4}$）2+$\frac{15}{16}$b2[22+（$\frac{6}{\sqrt{15}}$）2]≥[2（a-$\frac{b}{4}$）+$\frac{\sqrt{15}}{4}$b•$\frac{6}{\sqrt{15}}$]2=|2a+b|2，
∴当|2a+b|取得最大值时，有$\frac{a-\frac{b}{4}}{2}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}b}{\frac{6}{\sqrt{15}}}$，∴a=$\frac{3}{2}$b，
变形可得$\frac{b}{a}$=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．
点评 本题考查柯西不等式，凑出可用柯西不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．
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