Question

4．已知圆P：（x-m）²+（y-m）²=1（m＞0）与直线y=3x相交于A、B两点，则当△ABP的面积为$\frac{1}{2}$时，实数m的值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积，然后求出最大值即可．

解答 解：圆C：（x-m）²+（y-m）²=1（m＞0）的圆心（m，m）半径为1，
圆心到直线的距离d=$\frac{2m}{\sqrt{10}}$，半弦长为：$\frac{\sqrt{10-4{m}^{2}}}{\sqrt{10}}$，
∴△ABP的面积S=$\frac{2m}{\sqrt{10}}$•$\frac{\sqrt{10-4{m}^{2}}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10{m}^{2}-4{m}^{4}}}{5}$，
当m²=$\frac{5}{4}$时10m²-4m⁴取得最大值，最大值为：$\frac{25}{4}$，
∴△ABP的面积S的最大值为：$\frac{1}{2}$．
此时m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形面积的最值的求法，点到直线的距离公式的应用等知识，考查分析问题解决问题的能力．