【题目】如图，⊙是△的外接圆，为直径，点是⊙外一点，且，连接交于点，延长交⊙于点．

⑴.证明：=；

⑵.若，证明：是⊙的切线；

⑶.在⑵的条件下，连接交⊙于点,连接;若，求的长．

【题目】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．

⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？

⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，．

∵的几何意义是线段与的长度之和

∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时

∴的最小值是3．

⑶.解决问题：

①.的最小值是 ；

②.利用上述思想方法解不等式：

③.当为何值时，代数式的最小值是2．

⑴.以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数关系式；

⑵.新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？

【题目】某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“:文明礼仪；：环境保护；；卫生保洁；:垃圾分类 ”四个主题，每个学生选一个主题参与；为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．

⑴.本次调查的学生人数是 人，= ；

⑵.请补全条形统计图；

⑶.学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动，如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是 ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中一天是星期三的概率是 ．

【题目】如图， 直线与轴交于点，与双曲线 在第三象限交于两点，且 ；下列等边三角形，，，……的边，，，……在轴上，顶点……在该双曲线第一象限的分支上，则= ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．

【题目】如图，在矩形中，是上的一点，连接,将△进行翻折，恰好使点落在的中点处，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作半圆与相切于点;若,则图中阴影部分的面积为 ____ ．

【题目】如图，在平行四边形中，，是锐角，于点，是的中点，连接；若，则的长为（ ）

A.B.C.D.

【题目】如图，直线交轴于点A，交轴于点B,抛物线经过点A，交轴于点，点P为直线AB下方抛物线上一动点，过点P作于D，连接AP．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若以点为顶点的三角形与相似，求点P的坐标；

（3）将绕点A旋转，当点O的对应点落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点B的对应点的坐标．

【题目】如图1，在菱形ABCD中，，点E，F分别是AC，AB上的点，且，猜想：

①的值是_______；

②直线DE与直线CF所成的角中较小的角的度数是_______．

（2）类比探究：如图2，将绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中结论是否成立，就图2的情形说明理由．

（3）拓展延伸：

在绕点A旋转的过程中，当三点共线时，请直接写出CF的长．

【题目】如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线相交于点和B，过B点作轴于点C，连接AC，已知．

（1）求的值；

（2）延长AC交双曲线于另一点D，求D的的坐标．