题目内容
【题目】如图，直线
交
轴于点A，交
轴于点B,抛物线
经过点A，交轴于点
，点P为直线AB下方抛物线上一动点，过点P作
于D，连接AP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若以点
为顶点的三角形与
相似，求点P的坐标；
（3）将绕点A旋转，当点O的对应点
落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点B的对应点
的坐标．
【答案】（1）
；（2）当
时三角形相似；（3）点
的坐标为
或
．
【解析】
（1）先求出A，B的坐标，然后根据抛物线
经过点A，C，解出a，c的值，即可求出抛物线解析式；
（2）分①当
时和②当
时两种情况讨论即可；
（3）先将抛物线的解析式化为顶点式，得出抛物线的对称轴为：x=-1，根据
，得出AO=3，BO=
，然后设O
（-1，m），解出m值，分①当O（-1，
）时和②当O（-1，-）时两种情况讨论即可．
（1）∵直线
交
轴于A，B，
，
∵抛物线经过点A，C，
∴
，
解得
，
∴抛物线解析式为；
（2）①当时，点P为抛物线与x轴的交点，
令
，
解得
（舍去）
∴点P的坐标为
；
②当时，
，
，
过点B作
，且使得
，则P点必在直线AE与抛物线的交点上，
做
轴于点F，
，
，
，
，
，
，
设直线AE的解析式为
则
，
解得
，
∴直线AE的解析式为
，
解方程组
解得
，
，
∴点P的坐标为
，
∴当
或（1，0）时三角形相似；
（3）由题抛物线的解析式为
，
∴抛物线的对称轴为：x=-1，
∵，
∴AO=3，BO=，
∴设O（-1，m），
则有AO=
=AO=3，
解得：m=或m=
，
①当O（-1，）时，
设AO的解析式为：y=ax+b，
将A（-3，0），O（-1，）代入得
，
解得
，
∴AO的解析式为：y=
x+
，
∵BO⊥AO，
∴可设BO的解析式为：y=
x+b1，
将O（-1，）代入得=×（-1）+b1，
解得b1=
，
∴BO的解析式为：y=x+，
设B的坐标为（x，x+），
则BO=
=BO=，
解得x1=-1-，x2=-1-(不符合此时的情况，舍去)，
将x1代入x+=1+，
∴B的坐标为（-1-，1+）；
②当O（-1，-）时，
同理可得B的坐标为（-1+，1-）；
综上：点的坐标为或．
