Question

【题目】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．

⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？

⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，．

∵的几何意义是线段与的长度之和

∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时

∴的最小值是3．

⑶.解决问题：

①.的最小值是 ；

②.利用上述思想方法解不等式：

③.当为何值时，代数式的最小值是2．

Answer 1

【答案】①6；②或；③或

【解析】

(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；

②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；

③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．

解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x，

∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，

表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，

∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，

且线段AB的长度为6，

∴的最小值为6.

故答案为：6.

②设A表示-3，B表示1，P表示x，

∴线段AB的长度为4，则，

的几何意义表示为PA+PB，

∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，

∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，

即不等式的解集为或．

故答案为：或．

③设A表示-a，B表示3，P表示x，

则线段AB的长度为，

的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，

∴

∴或，

即或；

故答案为：或.