Question

如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=

1

2

x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CD⊥AB且CD=AB．直线BE与y轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF．
（1）若点F的坐标为（

9

2

，1），AF=

17

．
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；
（2）若2b+c=-2，b=-2-t，且AB的长为kt，其中t＞0．如图2，当∠DAF=45°时，求k的值和∠DFA的正切值．

Answer 1

（1）①∵直线BE与y轴平行，点F的坐标为（

9

2

，1），
∴点B的坐标为（

9

2

，0），∠FBA=90°，BF=1．
在Rt△EFM中，AF=

17

，
∴AB=

AF2-FB2

=

17-1

=4．
∴点A的坐标为（

1

2

，0）．
∴抛物线的解析式为y=

1

2

(x-

1

2

)(x-

9

2

)=

1

2

x2-

5

2

x+

9

8

．

②第一：以AF为对角线，抛物线顶点为一个顶点．
第二：以AF为其中一条边分别向左和向右做平行四边形．
∴点Q的坐标为：Q₁（

5

2

，3），Q₂（

5

2

，5），Q₃（

5

2

，7）．

（2）∵2b+c=-2，b=-2-t，
∴c=2t+2．
∴y=

1

2

x2-(2+t)x+2t+2．
由

1

2

x2-(2+t)x+2t+2=0，（x-2）（x-2t-2）=0．
解得x₁=2，x₂=2t+2．
∵t＞0，
∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（2t+2，0）．
∴AB=2t+2-2=2t，
即k=2．
过点D作DG∥x轴交BE于点G，
AH∥BE交直线DG于点H，延长
DH至点M，使HM=BF．（如图）
∵DG∥x轴，AH∥BE，
∴四边形ABGH是平行四边形．
∵∠ABF=90°，
∴四边形ABGH是矩形．
同理四边形CBGD是矩形．
∴AH=GB=CD=AB=GH=2t．
∵∠HAB=90°，∠DAF=45°，
∴∠1+∠2=45°．
∵在△AFB和△AMH中，

AB=AH ∠ABF=∠AHM=90° BF=HM

∴△AFB≌△AMH（SAS）．
∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M．
∴∠3+∠2=45°．
∵在△AFD和△AMD中，

AF=AM ∠FAD=∠MAD AD=AD

，
∴△AFD≌△AMD（SAS）．
∴∠DFA=∠M，FD=MD．
∴∠DFA=∠4．
∵C是AB的中点，
∴DG=CB=HD=t．
设BF=x，则GF=2t-x，FD=MD=t+x．
在Rt△DGF中，DF²=DG²+GF²，
∴（t+x）²=t²+（2t-x）²，
解得x=

2t

3

．
∴tan∠DFA=tan∠4=

AB

FB

=2t÷

2t

3

=3．