Question

如图，抛物线y=x²-2x-2交x轴于A、B两点，顶点为C，经过A、B、C三点的圆的圆心为M．
（1）求圆心M的坐标；
（2）求⊙M上劣弧AB的长；
（3）在抛物线上是否存在一点D，使线段OC和MD互相平分？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵y=x²-2x-2∴y=（x-1）²-3，
∴对称轴为x=1，顶点C（1，-3）．
又∵抛物线y=x²-2x-2与x轴交点A（1-

3

，0）、B（1+

3

，0），
∴AB=2

3

．
作抛物线对称轴x=1交AB于点N，则N（1，0），
∴圆心M在对称轴x=1上，连接MB，
∵⊙M中，MN⊥AB，
∴BN=

1

2

AB=

3

．
设⊙M半径为r，则MC=MB=r，
∵C（1，-3），
∴CN=3
∴MN=CN-MC=3-r．
∵Rt△BMN中MN²+BN²=MB²
∴(3-r)2+(

3

)2=r2解得r=2
∴MN=3-r=3-2=1
∵ON=1
∴圆心M的坐标为（1，-1）

（2）∵△BMN中，∠MNB=90°，MB=r=2，MN=1
∴cos∠NMB=

MN

MB

=

1

2

∴∠NMB=60°
∴∠AMB=2∠NMB=120°
∴⊙M上劣弧AB的长为

120°×πr

180

=

4

3

π

（3）若线段OC和MD互相平分，则四边形OMCD必定是平行四边形，
∴MC∥OD且MC=OD．
∵MC=r=2，
∴点D即为点O向下平移2个单位得点，
∴点D坐标为（0，-2）．