Question

如图①．点C、B、E、F在直线l上，线段AB与DE重合．将等腰直角三角形ABC以1cm/s的速度沿直线l向正方形DEFG平移，当C、F重合时停止运动．已知△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积y（cm²）与运动时间x（s）的函数图象如图②所示．请根据图中信息解决下列问题：
（1）填空：m=

 

s；n=

 

cm²；
（2）分别写出0≤x≤4和4＜x≤m时，y与x的函数关系式；
（3）x为何值时，重叠部分的面积为3.5cm²？

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据题意可知，等腰直角三角形ABC沿直线l向正方形DEFG平移时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积y的值先由小变大；到C与E重合时，y达到最大值，由图2知此时x=4s，则CB=AB=4，根据三角形的面积公式求出n的值；然后y由大变小，到C与F重合时，面积达到最小值0，由EF=CB=4可知此时t=8s，即m=8s；
（2）当0≤x≤4时，设DE与AC交于点H，△ABC与正方形DEFG重叠部分为直角梯形ABEH，用含x的代数式分别表示BH、BE，根据梯形的面积公式即可求解；
当4＜x≤8时，设GF与AC交于点I，△ABC与正方形DEFG重叠部分为△CFI，用含x的代数式分别表示FI、CF，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）根据（2）中所求的函数解析式，当0≤x≤4和4＜x≤8时，分别令y=3.5，得到关于x的方程，解方程即可．

解答：解：（1）由题意可知，当点C与点E重合时，y有最大值，由图2知此时x=4s，
∵等腰直角三角形ABC运动速度为1cm/s，
∴CB=AB=1×4=4，
∴S_△ABC=

1

2

×4×4=8，即n=8cm²；
∵点C与点F重合时，面积达到最小值0，
又EF=CB=4，
∴t=8s，即m=8s．
故答案为8，8；

（2）当0≤x≤4时，如图，设DE与AC交于点H．
∵BE=x，
∴EH=CE=BC-BE=4-x，
∴y=S_梯形ABEH=

1

2

（EH+AB）•BE=

1

2

（4-x+4）x=-

1

2

x²+4x，
即y=-

1

2

x²+4x；
当4＜x≤8时，如图，设GF与AC交于点I．
∵BE=x，BC=4，
∴CE=BE-BC=x-4，
∴FI=CF=EF-EC=4-（x-4）=8-x，
∴y=S_△CFI=

1

2

CF²=

1

2

（8-x）²=

1

2

x²-8x+32，
即y=

1

2

x²-8x+32；
综上所述，y=

- 1 2 x2+4x (0≤x≤4) 1 2 x2-8x+32 (4＜x≤8)

；

（3）当0≤x≤4时，令-

1

2

x²+4x=3.5，
整理，得x²-8x+7=0，
解得x₁=1，x₂=7（不合题意，舍去）；
当4＜x≤8时，令

1

2

x²-8x+32=3.5，
整理，得x²-16x+57=0，
解得x₁=8-

7

，x₂=8+

7

（不合题意，舍去）．
综上所述，当x为1s或（8-

7

）s时，重叠部分面积为3.5cm²．

点评：本题主要考查了动点问题中如何求图形的面积，等腰直角三角形与正方形的性质，难度适中．解题的关键是正确理解题意，然后根据题意列出函数关系式，利用数形结合及分类讨论的思想解决问题．