Question

已知：关于x的方程mx²+（m-3）x-3=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：计算题

分析：（1）先计算判别式得到△=（m-3）²-4m•（-3）=（m+3）²，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x₁=

3

m

，x₂=-1，然后利用整除性即可得到m的值．

解答：（1）证明：∵m≠0，
∴方程mx²+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，
∴△=（m-3）²-4m•（-3）
=（m+3）²，
∵（m+3）²≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；

（2）解：∵x=

-(m-3)±(m+3)

2m

，
∴x₁=

3

m

，x₂=-1，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=1或3．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．