Question

如图1，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，E是边BC上一点，EM⊥AE，EM交边AC于点M，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．
（1）求证：△ABH∽△ECM；
（2）如图2，其它条件不变的情况下，作CF垂直BC于点C，并与EM延长线交于点F，若E是BC中点，BC=2AB，试判四边形ABCF的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB=2，求AH的长．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据已知得出∠BAH=∠CEM，进而得出∠ABH=∠ECM，即可得出答案；
（2）首先得出AB=BE=CE，进而得出△ABE≌△ECF，即可得出CF=BE=AB，利用AB∥CF且 CF=AB得出四边形ABCF的形状；
（3）首先根据AF∥EC，得出

EM

MF

=

EC

AF

=

1

2

，进而得出EM=

1

3

EF，利用△ABH～△ECM，且AB=EC，即可得出△ABH≌△ECM，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵∠AEM=90°，
∴∠CEM+∠AEB=90°，∠BAH+∠AEB=90°，
∴∠BAH=∠CEM，
又∵∠BAH+∠CBG=90°，
∠ECM+∠CBG=90°，
∴∠ABH=∠ECM，
∴△ABH～△ECM；

（2）四边形ABCF为矩形，
理由：
∵E为BC中点，BC=2AB，
∴AB=BE=CE，
又∵∠ABE=∠ECF，∠BAE=∠CEF，
在△ABE和△ECF中，

∠ABE=∠ECF AB=CE ∠BAE=∠CEF

，
∴△ABE≌△ECF（ASA），
∴CF=BE=AB
∴AB∥CF且 CF=AB
∴四边形ABCF为平行四边形且∠ABC=90°
∴四边形ABCF为矩形；

（3）解：∵AF∥EC，
∴

EM

MF

=

EC

AF

=

1

2

，
∵AB=FC=2，∴AF=BC=4，EC=2，
∴EF=2

2

，
则EM=

1

3

EF=

2 2

3

，
∵△ABH～△ECM，
且AB=EC，
∴△ABH≌△ECM，
∴AH=EM=

2 2

3

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的判定和全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出EM=

1

3

EF是解题关键．