题目内容
【题目】矩形ABCD,AB=6,BC=8,四边形EFGH的顶点E、G在矩形的边AD、BC上;顶点F、H在矩形的对角线BD上.
(1)如图1,当四边形EFGH是平行四边形时,求证:△DEH≌△BGF.
(2)如图2,当四边形EFGH是正方形时,求BF的长.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由EH=FG,∠BFG=∠EHD,∠EDH=∠GBF,即可证明;
(2)证明△HKG≌△GMF(AAS),利用BC=BM+MG+GK+KC=8,即可求解.
解:在Rt△BCD中,tan∠DBC=
=tanα,则sin,cosα=,
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EDH=∠GBF,
(1)∵四边形EFGH是平行四边形,
∴EH=FG,∠EHF=∠GFH,
∴∠BFG=180°﹣∠GFH,∠EHD=180°﹣∠EHF=∠BFG,
又∵∠EDH=∠GBF,
∴△DEH≌△BGF(AAS);
(2)∵四边形EFGH是正方形也为平行四边形,
故由(1)得:△DEH≌△BGF(AAS),
∴BF=DH,
设BF=x=DH,
如下图,过点H作HK⊥BC于点K,作HN⊥CD于点N,作FM⊥BC于点M,
在Rt△BFM中,FM=BFsin∠FBM=xsinα==DN,
同理BM==HN=CK,
∵∠FGM+∠HGK=90°,∠HGK+∠GHK=90°,
∴∠GHK=∠FGM,
又∵∠HKG=∠GMF=90°,FG=GH,
∴△HKG≌△GMF(AAS),
∴GM=HK=CN=CD﹣DN=6﹣,GK=FM=,
∴BC=BM+MG+GK+KC=+(6﹣)+=8,
解得:x=,
即BF的长为.
练习册系列答案
相关题目