题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),顶点为.直线轴于点,交抛物线于点

求抛物线的表达式及点的坐标;

是抛物线上的动点,若以为顶点的四边形仅有一组对边平行,求点的坐标;

连接,点在直线上,设点到直线的距离为,点到点的距离为,求的最小值.

【答案】(1)的坐标为;(2)坐标为;(3)12.

【解析】

(1)设抛物线顶点式解析式y=ax2+1,然后把点P的坐标代入进行计算即可得解;求出抛物线与x轴的交点A、B,然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线DB的解析式,令x=0求出y的值即可得到点D的坐标;

(2)根据四边形仅有一组对边平行,分①APBE,求出直线AP的解析式,再根据平行直线的解析式的k值相等求出直线BE的解析式,与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标;②ABPE,根据抛物线的对称性可得点E与点P关于y轴对称;③BPAE,根据平行直线的解析式的k值相等求出AE的解析式,与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标;

(3)过点PPMx轴于点M,PNy轴于点N,根据点A、B、P的坐标可以求出∠APM=60°,BPM=30°,APN=30°,然后求出PA是∠BPN的平分线,过点FFHPN于点H,连接DF、DH,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FH=m,根据三角形的三边关系可得当点D、F、H三点共线时,m+n的值最小,此时,点F为直线APy轴的交点,m+n=PN,然后求解即可.

∵抛物线顶点为

∴设抛物线的解析式是

又∵点在抛物线上,

解得

∴抛物线的解析式为

,则

解得

∴点,点

设直线的解析式为

解得

∴直线的解析式为

,则

所以,点的坐标为

时,设直线的解析式为

解得

所以,直线的解析式为

设直线的解析式为

解得

所以,直线的解析式为

(为点的坐标),

所以点的坐标为

时,∵抛物线关于轴对称,

∴点为点关于轴的对称点,

∴点

时,∵直线的解析式为

∴设直线的解析式为

解得

∴直线的解析式为

,得(为点坐标),

所以,点坐标为

综上所述,点坐标为

如图,过点轴于点轴于点

又∵

在直线上,过点于点,根据角平分线的性质可得

连接,根据三角形的三边关系,

所以,当点三点共线时,的最小值,

此时,点为直线轴的交点,点重合,

最小值

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