题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与
轴交于
,
两点(点
在点
的左侧),顶点为
.直线
交
轴于点
,交抛物线于点
.
求抛物线的表达式及点
的坐标;
点
是抛物线上的动点,若以
,
,
,
为顶点的四边形仅有一组对边平行,求点
的坐标;
连接
,点
在直线
上,设点
到直线
的距离为
,点
到点
的距离为
,求
的最小值.
【答案】(1)点
的坐标为
;(2)点
坐标为
,
,
;(3)12.
【解析】
(1)设抛物线顶点式解析式y=ax2+1,然后把点P的坐标代入进行计算即可得解;求出抛物线与x轴的交点A、B,然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线DB的解析式,令x=0求出y的值即可得到点D的坐标;
(2)根据四边形仅有一组对边平行,分①AP∥BE,求出直线AP的解析式,再根据平行直线的解析式的k值相等求出直线BE的解析式,与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标;②AB∥PE,根据抛物线的对称性可得点E与点P关于y轴对称;③BP∥AE,根据平行直线的解析式的k值相等求出AE的解析式,与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标;
(3)过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,根据点A、B、P的坐标可以求出∠APM=60°,∠BPM=30°,∠APN=30°,然后求出PA是∠BPN的平分线,过点F作FH⊥PN于点H,连接DF、DH,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FH=m,根据三角形的三边关系可得当点D、F、H三点共线时,m+n的值最小,此时,点F为直线AP与y轴的交点,m+n=PN,然后求解即可.
∵抛物线顶点为
,
∴设抛物线的解析式是,
又∵点在抛物线上,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为;
令,则
,
解得,
,
∴点,点
,
设直线的解析式为
,
则,
解得,
∴直线的解析式为
,
令,则
,
所以,点的坐标为
;
①
时,设直线
的解析式为
,
则,
解得,
所以,直线的解析式为
,
设直线的解析式为
,
则,
解得,
所以,直线的解析式为
,
解得
,
(为点
的坐标),
所以点的坐标为
;
②时,∵抛物线关于
轴对称,
∴点为点
关于
轴的对称点,
∴点;
③时,∵直线
的解析式为
,
∴设直线的解析式为
,
则,
解得,
∴直线的解析式为
,
解,得
,
(为点
坐标),
所以,点坐标为
,
综上所述,点坐标为
,
,
;
如图,过点
作
轴于点
,
轴于点
,
∵,
,
,
∴,
,
∴,
,
∴,
又∵,
∴,
∴,
点在直线
上,过点
作
于点
,根据角平分线的性质可得
,
连接、
,根据三角形的三边关系,
,
即,
所以,当点、
、
三点共线时,
的最小值,
此时,点为直线
与
轴的交点,点
、
重合,
最小值.
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