题目内容
如图,正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于O,∠ADE=15°,过D作DG⊥ED于D,且AG=AD,过G作GF∥AC交ED的延长线于F.
(1)若ED=4
,求AG;
(2)求证:2DF+ED=BD.
(1)若ED=4
6 |
(2)求证:2DF+ED=BD.
考点:正方形的性质,含30度角的直角三角形,勾股定理
专题:压轴题
分析:(1)利用已知条件可先求出OD的长,进而求出AD的长,又因为AG=AD,所以可求出AD的长;
(2)延长GF,过C作CM∥AG,交GF的延长线于M,连接DM,可证明四边形ACMG是平行四边形、△DCM是等边三角形,利用平行四边形的小性质和等边三角形的性质以及全等三角形的性质即可证明2DF+ED=BD.
(2)延长GF,过C作CM∥AG,交GF的延长线于M,连接DM,可证明四边形ACMG是平行四边形、△DCM是等边三角形,利用平行四边形的小性质和等边三角形的性质以及全等三角形的性质即可证明2DF+ED=BD.
解答:解(1)在正方形ABCD中,AC⊥BD,∠ADO=45°,
∵∠ADE=15°,
∴∠EDO=30°
∵DE=4
,∠EOD=90°,
∴OD=6
,
在Rt△AOD中,AD=12,∴AG=AD=12;
(2)延长GF,过C作CM∥AG,交GF的延长线于M,连接DM.
∵AC∥GF,即AC∥GM,
∴四边形ACMG是平行四边形,
∴AG=AD=DC=CM,∠AED=∠DFM=120°,
∵∠ADE=15°
∴∠DAG=30°,∠GAE=∠CMF=75°,∠ACM=105°,
∴∠DCM=60°,
∴△DCM是等边三角形,
∴DM=AD,
∵∠DMF=∠ADE=15°
∴△AED≌△DFM,
∴FM=ED,AE=DF
又∵AC=GM,
即BD=GF+FM=GF+ED 又在RT△GDF中,∠GFD=60°,
∴∠DGF=30°,
∴GF=2DF,
∴BD=2DF+ED.
∵∠ADE=15°,
∴∠EDO=30°
∵DE=4
6 |
∴OD=6
2 |
在Rt△AOD中,AD=12,∴AG=AD=12;
(2)延长GF,过C作CM∥AG,交GF的延长线于M,连接DM.
∵AC∥GF,即AC∥GM,
∴四边形ACMG是平行四边形,
∴AG=AD=DC=CM,∠AED=∠DFM=120°,
∵∠ADE=15°
∴∠DAG=30°,∠GAE=∠CMF=75°,∠ACM=105°,
∴∠DCM=60°,
∴△DCM是等边三角形,
∴DM=AD,
∵∠DMF=∠ADE=15°
∴△AED≌△DFM,
∴FM=ED,AE=DF
又∵AC=GM,
即BD=GF+FM=GF+ED 又在RT△GDF中,∠GFD=60°,
∴∠DGF=30°,
∴GF=2DF,
∴BD=2DF+ED.
点评:本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质,特别是第二问题目的综合性很强难度不小.
练习册系列答案
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在数轴上表示不等式组
的解集正确的是( )
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A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
一只草履虫每小时大约能形成60个食物泡,每个食物泡大约含有30个细菌,因此,一只草履虫每天大约能吞噬43000个细菌,将43000用科学记数法科表示为( )
A、43×103 |
B、4.3×104 |
C、0.43×105 |
D、4.3×105 |