题目内容
在△ABC中,点D、M、N分别在边AB、CA、CB上,
(1)若D为AB中点,且∠MDN=∠CAB+∠CBA.
①如图1,当BC=AC时,探索MD、ND的数量关系,并证明;
②如图2,当BC=k•AC时,探索MD、ND的数量关系(用含k的式子表示),并证明;
(2)如图3,点D、M、N分别在边AB、CA、CB的延长线上,BC=k•AC,AB=m•BD,且∠MDN=∠ACB,猜想MD、ND的数量关系是 (直接写出答案,用含k、m的式子表示)
(1)若D为AB中点,且∠MDN=∠CAB+∠CBA.
①如图1,当BC=AC时,探索MD、ND的数量关系,并证明;
②如图2,当BC=k•AC时,探索MD、ND的数量关系(用含k的式子表示),并证明;
(2)如图3,点D、M、N分别在边AB、CA、CB的延长线上,BC=k•AC,AB=m•BD,且∠MDN=∠ACB,猜想MD、ND的数量关系是
考点:相似形综合题
专题:
分析:(1)①连接CD,过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.先由三角形内角和定理及已知条件得出∠MDN=∠EDF=180°-∠C,则∠EDM=∠FDN,根据等腰三角形三线合一的性质得出CD平分∠ACB,由角平分线的性质得到DE=DF,再利用AAS证明△EMD≌△FND,得出MD=ND;
②连接CD,过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.由D为AB中点,根据三角形的面积公式可得S△ACD=S△CDB,即
AC•DE=
BC•DF,则
=
=k,再由三角形内角和定理及已知条件得出∠MDN=∠EDF=180°-∠C,则∠EDM=∠FDN,又∠DEM=∠DFN=90°,得出△EMD∽△FND,根据相似三角形对应边成比例得出
=
=k,即MD=kND;
(2)连接CD,过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,过B作BG⊥AC于G,设CN、DM交于O.由BG∥DE,得出△ABG∽△ADE,则
=
=
,即BG=
•DE.根据三角形的面积公式得到S△ABC:S△BDC=AB:BD=m=
AC•BG:
BC•DF=BG:kDF,即BG:DF=km,DE:DF=k•(m+1).再证明△COM∽△DON,得出∠M=∠N,又∠DEM=∠DFN=90°,得到△DEM∽△DFN,根据相似三角形对应边成比例得出
=
=k•(m+1),即MD=k•(m+1)ND.
②连接CD,过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.由D为AB中点,根据三角形的面积公式可得S△ACD=S△CDB,即
1 |
2 |
1 |
2 |
DE |
DF |
BC |
AC |
MD |
ND |
DE |
DF |
(2)连接CD,过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,过B作BG⊥AC于G,设CN、DM交于O.由BG∥DE,得出△ABG∽△ADE,则
BG |
DE |
AB |
AD |
m |
m+1 |
m |
m+1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
MD |
ND |
DE |
DF |
解答:解:(1)①MD=ND,理由如下:
如图1,连接CD,过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.
∵∠MDN=∠A+∠B=180°-∠C,
∠EDF=360°-∠DEC-∠DFC-∠C=360°-90°-90°-∠C=180°-∠C,
∴∠MDN=∠EDF,
∴∠EDM=∠FDN.
∵BC=AC,D为AB中点,
∴CD平分∠ACB,
∵DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,
∴DE=DF.
在△EMD与△FND中,
,
∴△EMD≌△FND(ASA),
∴MD=ND;
②MD=k•ND,理由如下:
如图2,连接CD,过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.
∵D为AB中点,
∴S△ACD=S△CDB,
∴
AC•DE=
BC•DF,
∴AC•DE=BC•DF,
∴
=
=k.
∵∠MDN=∠A+∠B=180°-∠C,
∠EDF=360°-∠DEC-∠DFC-∠C=360°-90°-90°-∠C=180°-∠C,
∴∠MDN=∠EDF,
∴∠EDM=∠FDN,
又∵∠DEM=∠DFN=90°,
∴△EMD∽△FND,
∴
=
=k,
∴MD=kND;
(2)MD=k•(m+1)•ND,理由如下:
如图3,连接CD,过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,过B作BG⊥AC于G,设CN、DM交于O,
∴BG∥DE,
∴△ABG∽△ADE,
∴
=
=
=
,
∴BG=
•DE.
∵S△ABC:S△BDC=AB:BD=m=
AC•BG:
BC•DF=BG:kDF,
∴BG:DF=km,
∴
•DE:DF=km,
∴DE:DF=k•(m+1).
∵∠MDN=∠MCB,∠COM=∠DON,
∴△COM∽△DON,
∴∠M=∠N,
∵∠DEM=∠DFN=90°,
∴△DEM∽△DFN,
∴
=
=k•(m+1),
∴MD=k•(m+1)ND.
故答案为MD=k•(m+1)•ND.
如图1,连接CD,过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.
∵∠MDN=∠A+∠B=180°-∠C,
∠EDF=360°-∠DEC-∠DFC-∠C=360°-90°-90°-∠C=180°-∠C,
∴∠MDN=∠EDF,
∴∠EDM=∠FDN.
∵BC=AC,D为AB中点,
∴CD平分∠ACB,
∵DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,
∴DE=DF.
在△EMD与△FND中,
|
∴△EMD≌△FND(ASA),
∴MD=ND;
②MD=k•ND,理由如下:
如图2,连接CD,过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.
∵D为AB中点,
∴S△ACD=S△CDB,
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
∴AC•DE=BC•DF,
∴
DE |
DF |
BC |
AC |
∵∠MDN=∠A+∠B=180°-∠C,
∠EDF=360°-∠DEC-∠DFC-∠C=360°-90°-90°-∠C=180°-∠C,
∴∠MDN=∠EDF,
∴∠EDM=∠FDN,
又∵∠DEM=∠DFN=90°,
∴△EMD∽△FND,
∴
MD |
ND |
DE |
DF |
∴MD=kND;
(2)MD=k•(m+1)•ND,理由如下:
如图3,连接CD,过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,过B作BG⊥AC于G,设CN、DM交于O,
∴BG∥DE,
∴△ABG∽△ADE,
∴
BG |
DE |
AB |
AD |
mBD |
mBD+BD |
m |
m+1 |
∴BG=
m |
m+1 |
∵S△ABC:S△BDC=AB:BD=m=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴BG:DF=km,
∴
m |
m+1 |
∴DE:DF=k•(m+1).
∵∠MDN=∠MCB,∠COM=∠DON,
∴△COM∽△DON,
∴∠M=∠N,
∵∠DEM=∠DFN=90°,
∴△DEM∽△DFN,
∴
MD |
ND |
DE |
DF |
∴MD=k•(m+1)ND.
故答案为MD=k•(m+1)•ND.
点评:本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质,三角形内角和定理,等腰三角形、角平分线的性质,三角形的面积等知识,综合性较强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.
练习册系列答案
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A、100° | B、110° |
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A、2 | B、4 | C、6 | D、8 |
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A、∠1=∠2 |
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C、∠1=∠3 |
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