Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为y=

3

x+2

3

．
（1）求b、c的值；
（2）过C作CE∥x轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F（4，0），求抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，抛物线上是否存在点M，使得△CDM≌△CEA？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）首先根据直线CD的解析式求得点C的坐标，从而求得抛物线的c值，然后根据点A的坐标过D作DM⊥y轴于M，表示出顶点坐标后代入抛物线的顶点式展成一般形式后即可求得b的值；
（2）作抛物线的对称轴交x轴于点B，根据∠DCM=30°，得到∠CDB=30°，由抛物线的对称性，可得△DCE为等边三角形，根据抛物线的对称轴表示出点D的坐标即可代入函数解析式求得抛物线的解析式．
（3）过C作CM⊥DE于N交抛物线于点M，此时，△CDM≌△CEM，然后根据△CDE为等边三角形，得到CM为DE的中垂线，从而得到DM=EM，△CDM≌△CEM，求得直线的解析式后即可联立求交点坐标．

解答：解：（1）∵直线CD的解析式为y=

3

x+2

3

，
∴C（0，2

3

），
∴c=2

3

，
设直线CD交x轴于点A，
∴A（-2，0），
∴

OA

OC

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠OCA=30°
过D作DM⊥y轴于M，
∴∠DCM=30°，
∴C=

3

DM，
设抛物线的顶点横坐标为h，则CM=

3

h，
∴D(h ， 2

3

+

3

h)…（3分）
∴y=a(x-h)2+2

3

+

3

h
代入C(0 ， 2

3

)
∴2

3

=ah2+2

3

+

3

h
∴h₁=0（舍），h2=-

3

a

∴y=a(x+

3

a

)2+2

3

+

3

hy=ax2+2

3

x+

3

a

+2

3

+

3

h
∴b=2

3

．

（2）作抛物线的对称轴交x轴于点B，（如图）
∵∠DCM=30°，
∴∠CDB=30，由抛物线的对称性，可得△DCE为等边三角形．
∵CE∥x轴，
∴△DAF为等边三角形，
∴B为AF中点，
∵A（-2，0），F（4，0），
∴B（1，0）
抛物线对称轴为直线x=1，
∴-

b

2a

=1，
∴-

2 3

2a

=1
∴a=-

3

，
∴D(1 ， 3

3

)，
∴y=-

3

(x-1)2+3

3

y=-

3

x2+2

3

x+2

3

．
（3）存在．过C作CM⊥DE于N交抛物线于点M，
此时，△CDM≌△CEM
∵△CDE为等边三角形，
∴CM为DE的中垂线，
∴DM=EM，
∴△CDM≌△CEM，
∵D(1 ， 3

3

)，E(2 ， 2

3

)
∴N(

3

2

 ， 

5 3

2

)
设y_CN=kx+b代入(0 ， 2

3

) ， (

3

2

 ， 

5 3

2

)
解得yCN=

3

3

x+2

3

…（11分）

y= 3 3 x+2 3 y=- 3 x2+2 3 x+2 3

解得M(

5

3

 ， 

23 3

9

)．…（12分）

点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．