Question

如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=8

3

，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒2

3

个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．

（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时，MP⊥AB．解Rt△AMP，求出AP=4

3

，根据时间=路程÷速度即可得到t的值；
（2）先由AP=2

3

t，得出BP=16

3

-2

3

t，再解Rt△PMB，即可得到等边△PMN的边长；
（3）分三种情况讨论：①当0≤t≤1时，先由AP=2

3

t，得出AG=4

3

t，OG=8

3

-4

3

t，再求出MO=8-4t，ON=8+2t．过F作FQ⊥OB于Q，则EF=OQ=4+2t．等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积，设为S₁，根据梯形的面积公式即可求解；②当1＜t＜2时，先解直角△EGK中，得出GK=4

3

t-4

3

，EK=4t-4，求出S_△EGK=8

3

（t-1）²，等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积与△EGK的面积差，设为S₂，代入即可求解；③当t=2时，S=32

3

，通过比较，即可得出当t=

3

2

时，S₂的最大值为34

3

；
（4）过R作RH⊥OB于H，RH=4

3

，HN=4，OH=4+2t，OD=12，DH=8-2t．然后分三种情况讨论：①OR=OD=12；②DR=OD=12；③OR=DR．

解答：解：（1）当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时，MP⊥AB．
∵∠A=60°，
∴AP=4

3

，
∴t=4

3

÷2

3

=2；

（2）∵AP=2

3

t，
∴BP=16

3

-2

3

t，
又∵∠B=30°，∠PMB=60°，
∴∠BPM=90°，tan∠B=

PM

PB

=

PM

16 3 -2 3 t

=

3

3

，
∴PM=16-2t，即等边△PMN的边长为16-2t；

（3）①当0≤t≤1时，如图，AP=2

3

t，
∴AG=4

3

t，
∴OG=8

3

-4

3

t，
∴MO=8-4t，
∴ON=8+2t．
过F作FQ⊥OB于Q，则QN=4，
∴EF=OQ=4+2t．
等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积，设为S₁，
∴S₁=

1

2

（4+2t+8+2t）×4

3

=8

3

t+24

3

，
∵8

3

＞0，∴S₁随t的增大而增大，
∴t=1时，S₁的最大值为32

3

；
②当1＜t＜2时，如图，
在△EGK中，GK=4

3

t-4

3

，
∴EK=4t-4，
∴S_△EGK=8

3

（t-1）²，
∴等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积与△EGK的面积差，设为S₂，
∴S₂=8

3

t+24

3

-8

3

（t-1）²=-8

3

t²+24

3

t+16

3

，
∵a=-8

3

＜0，对称轴为t=

3

2

，
∴t=

3

2

时，S₂的最大值为34

3

；
③当t=2时，S=32

3

．
综上可知，当t=

3

2

时，S₂的最大值为34

3

；

（4）过R作RH⊥OB于H，RH=4

3

，HN=4，OH=4+2t，OD=12，DH=8-2t．
①OR=OD=12时，OH²+RH²=OR²，
∴（4+2t）²+（4

3

）²=12²，t＞0，
∴t=

96 -4

2

＞2，不合题意舍去．
②DR=OD=12时，DH²+RH²=DR²，
∴（8-2t）²+（4

3

）²=12²，
∴t=

8+ 96

2

＞2，或t=

8- 96

2

＜0，都不合题意舍去．
③OR=DR时，H为OD的中点，OH=6，
∴4+2t=6，
∴t=1．
综上所述，t=1时，△ODR是等腰三角形．

点评：本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，图形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．