Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣ +bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣ +bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．

（1）求二次函数y=﹣ +bx+c的表达式；
（2）连接AB，求AB的长；
（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当x=0时，y=c，即（0，c）．

由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）．

将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得

，

解得 ．

故抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x﹣2

（2）

解：联立抛物线与直线，得

，

解得 ， ，

即B（2，1），C（5，﹣2）．

由勾股定理，得

AB= =

（3）

解：如图：

，

四边形ABCN是平行四边形，

证明：∵M是AC的中点，

∴AM=CM．

∵点B绕点M旋转180°得到点N，

∴BM=MN，

∴四边形ABCN是平行四边形

【解析】（1）根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式；（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；（3）根据线段中点的性质，可得M点的坐标，根据旋转的性质，可得MN与BM的关系，根据平行四边形的判定，可得答案．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象和二次函数的性质，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．