题目内容

已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为
5
，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）．

（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）如图1所示，连接AC，则AC=
5
，
在Rt△AOC中，AC=
5
，OA=1，则OC=2，
∴点C的坐标为（0，2）；
设切线BC的解析式为y=kx+b，它过点C（0，2），B（-4，0），
则有
b=2
-4k+b=0
，解之得
k=
1
2
b=2
；
∴y=
1
2
x+2．（4分）

（2）如图1所示，设点G的坐标为（a，c），过点G作GH⊥x轴，垂足为H点，
则OH=a，GH=c=
1
2
a+2，（5分）
连接AP，AG；
因为AC=AP，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG（HL），
所以∠AGC=
1
2
×120°=60°，
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=
5
，
∴sin60°=
AC
AG
，∴AG=
2
15
3
；（6分）
在Rt△AGH中，AH=OH-OA=a-1，GH=
1
2
a+2，
∵AH2+GH2=AG2，
∴（a-1）2+(
1
2
a+2)2=(
2
15
3
)2，
解之得：a1=
2
3
3
，a2=-
2
3
3
（舍去）；（7分）
∴点G的坐标为（
2
3
3
，
3
3
+2）．（8分）

（3）如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形．（9分）
要使△AEF为直角三角形，∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE≠90°，∴只能是∠EAF=90°；
当圆心A在点B的右侧时，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，
在Rt△AEF中，AE=AF=
5
，
则EF=
10
，AM=
1
2
EF=
1
2
10
；
在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，则BC=2
5
，
∵∠BOC=∠BMA=90°，∠OBC=∠OBM，
∴△BOC∽△BMA，
∴
OC
AM
=
BC
AB
，
∴AB=
5
2
2
，
∴OA=OB-AB=4-
5
2
2
，
∴点A的坐标为（-4+
5
2
2
，0）；（11分）
当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过点A′作A′M′⊥BC于点M′，可得：
△A′M′B≌△AMB，A′B=AB=
5
2
2
，
∴OA′=OB+A′B=4+
5
2
2
，
∴点A′的坐标为（-4-
5
2
2
，0）；
综上所述，点A的坐标为（-4+
5
2
2
，0）或（-4-
5
2
2
，0）．（13分）
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，分别以AB、BC为直径的⊙O1、⊙O2，交于另一点D．
（1）证明：交点D必在AC上；
（2）如图甲，当⊙O1与⊙O2半径之比为4：3，且DO2与⊙O1相切时，判断△ABC的形状，并求tan∠O2DB的值；
（3）如图乙，当⊙O1经过点O2，AB、DO2的延长线交于E，且BE=BD时，求∠A的度数．
如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是
AB
的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以C为圆心的圆切AB于点D，交AC于点E，过点E作AB的垂线，垂足为H，HE交BC的延长线于点G，已知∠A=α，AE=m，则EG=______（用含α，m的式子表示）．
如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若DE=
5
2
，AB=
5
2
，求AE的长．
如图，C是⊙O的直径AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠BDC=
1
2
∠ABD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若OF∥AD分别交BD、CD于E、F，BD=2，求OE及CF的长．
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆的半径为5cm，小圆的半径为3cm，则弦AB的长为______cm．
已知：如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于B点，C为⊙O上的点，OP∥AC．试判断PC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是⊙O的直径，弦DE与AC交于点E，且BD=BF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．

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