题目内容
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,点D是斜边AC上的中点,过点D作斜边AC的垂线,交CB的延长线于点E,将DE绕点D按逆时针方向旋转60°后得到线段DF,连接AF、EF.
(1)求∠CED的度数;
(2)证明:四边形ABEF是矩形.
(1)求∠CED的度数;
(2)证明:四边形ABEF是矩形.
(1)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,
∴∠C=60°,
∵DE⊥AC,
∴∠CDE=90°,
∴在△CDE中,∠CED=180°-∠C-∠CDE=30°.
(2)证明:∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,
∴BC=
AC,
∵D为AC中点,
∴CD=
AC,
∴CD=BC,
在△ABC和△EDC中
∴△ABC≌△EDC(ASA),
∴AB=ED,
∵DF是由线段ED绕点D逆时针旋转60°得到,
∴DE=DF,∠EDF=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴ED=EF,∠DEF=60°,
∴AB=EF,∠CEF=90°,
∴AB∥EF,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵∠CEF=90°,
∴平行四边形ABEF是矩形.
∴∠C=60°,
∵DE⊥AC,
∴∠CDE=90°,
∴在△CDE中,∠CED=180°-∠C-∠CDE=30°.
(2)证明:∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,
∴BC=
1 |
2 |
∵D为AC中点,
∴CD=
1 |
2 |
∴CD=BC,
在△ABC和△EDC中
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∴△ABC≌△EDC(ASA),
∴AB=ED,
∵DF是由线段ED绕点D逆时针旋转60°得到,
∴DE=DF,∠EDF=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴ED=EF,∠DEF=60°,
∴AB=EF,∠CEF=90°,
∴AB∥EF,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵∠CEF=90°,
∴平行四边形ABEF是矩形.
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