Question

【题目】如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=3 ﹣3，CD∥AB，并与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长；
（2）若sin∠C= ，求弦MN的长；
（3）在（2）的条件下，求优弧MEN的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA

∵CD∥AB∴∠OAB=∠C，∠D=∠OBA

∴∠C=∠D，

∴OD=OC=OA+AC=3 ；

（2）解：过O作OE⊥CD，连接OM，则ME= MN，

∵tan∠C= ，即 = ，

∴设OE=x，则CE=2x，

在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即（3 ）2=x2+（2x）2，解得x=

在Rt△OME中，OM2=OE2+ME2，即32=（ ）2+ME2，解得ME= ，

∴由垂径定理得MN=3；

（3）解：由（2）可得△OMN是等边三角形，

∴∠MON=60°

∴优弧MEN的长度= =5π．

【解析】（1）根据CD∥AB，OA=OB，推出∠C=∠D，根据等腰三角形的判定证得OD=OC即可；（2）过O作OE⊥CD，连接OM，由垂径定理可知ME= MN，再根据tan∠C= 可求出OE的长，利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案；（3）由（2）可得△OMN是等边三角形，即∠MON=60°，由弧长公式即可得到结论．