Question

【题目】如图，在锐角△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．

（1）求证： = ；
（2）设EF的长为x．
①当x为何值时，矩形EFPQ为正方形？
②当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：证明：∵四边形EFPQ是矩形，

∴EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，∠AHF=∠ADC，

又∵AD是高，

∴∠AHF=∠ADC=90°，即AH是△AEF的高．

∴ ；

（2）

解：①若矩形EFPQ为正方形，则HD=EQ=EF=x．

∴AH=AD﹣HD=8﹣x．

又∵ ，BC=10，

∴ ．

解得 ．

∴当 时，矩形EFPQ为正方形；

②∵HD=EQ，AD=8，

∴AH=AD﹣HD=8﹣EQ．

又∵ ，EF=x，BC=10，

∴ ．

∴ ．

∴S矩形EFPQ= ．

∵S矩形EFPQ= （0＜x＜10），

∴当x=5时，S矩形EFPQ有最大值为20．

∴当x=5时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为20

【解析】（1）根据矩形的性质得出EQ=HD=FP，EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质推出即可；（2）①根据正方形的性质可知HD=EQ=EF，令HD=EQ=EF=x；利用相似三角形的性质可得 ，可得x的值；②根据矩形的面积公式，可以把面积表示成关于EF的长的函数，根据函数的性质即可求解．
【考点精析】掌握关于仰角俯角问题是解答本题的根本，需要知道仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角．