题目内容

【题目】已知抛物线y=a(x-2)2-9经过点P(6,7),与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线AP与y轴交于点D,抛物线对称轴与x轴交于点E.

(1)求抛物线的解析式;

(2)过点E任作一条直线l(点B、C分别位于直线l的异侧),设点C到直线的距离为m,点B到直线l的距离为n,求m+n的最大值;

(3)y轴上是否存在点Q,使∠QPD=∠DEO,若存在,请求出点Q的坐标:若不存在,请说明理由.

【答案】(1) y=x2-4x-5;(2);(3)Q1(0,5),Q2(0,-11).

【解析】分析:(1)把P点坐标代入y=a(x-2)2-9中求出a即可得到抛物线解析式;

(2)作BM⊥lM,BN⊥lN,BG⊥CMG,如图1,利用四边形BGMN为矩形得到BN=MG,则m+n=CG,利用BG≤BC(当且仅当M点在BC上取等号)得到m+n的最大值为BC的长,然后求出B、C坐标后计算出BC即可;

(3)先利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=x+1,则D(0,1),PD=6,△AOD为等腰直角三角形,易得E(2,0),则tan∠DEO=,讨论:当点Q在点D的上方,作QG⊥APG,如图2,设QG=t,证明△QDG为等腰直角三角形得到DG=QG=t,QD=t,则利用∠QPD=∠DEO和正切定义得到,解方程求出t,从而可确定Q点坐标;当点Q在点D的下方,作QG⊥APG,如图3,设QG=t,利用同样方法得到,然后解方程求出t,从而得到Q点坐标.

详解:(1)∵抛物线y=a(x-2)2-9经过点P(6,7),

∴a(6-2)2-9=7,解得a=1,

∴抛物线解析式为y=(x-2)2-9,

y=x2-4x-5;

(2)作BM⊥lM,BN⊥lN,BG⊥CMG,如图1,

易得四边形BGMN为矩形,

∴BN=MG,

∴m+n=CM+BN=CM+MG=CG,

∵BG≤BC(当且仅当M点在BC上取等号)

∴m+n的最大值为BC的长,

x=0时,y=x2-4x-5=-5,则C(0,-5),

y=0时,x2-4x+5=0,解得x1=-1,x2=5,则A(-1,0),B(5,0)

∴BC=

∴m+n的最大值为5

(3)存在.

设直线AD的解析式为y=kx+b,

A(-1,0),P(6,7)代入得

解得

∴直线AD的解析式为y=x+1,

x=0,y=x+1=1,则D(0,1),

∴PD=,△AOD为等腰直角三角形,

∵抛物线的对称轴为直线x=2,

∴E(2,0),

∴tan∠DEO=

当点Q在点D的上方,作QG⊥APG,如图2,

QG=t,

∵∠QDG=∠ADO=45°,

∴△QDG为等腰直角三角形,

∴DG=QG=t,QD=QG=t,

∴PG=PD-DG=6-t,

∵∠QPD=∠DEO,

∴tan∠QPD=

,解得t=2

∴DQ=2×=4,

∴OQ=4+1=5,

∴Q点坐标为(0,5);

当点Q在点D的下方,作QG⊥APG,如图3,

QG=t,

∴△QDG为等腰直角三角形,

∴DG=QG=t,QD=QG=t,

∴PG=PD+DG=6+t,

∵∠QPD=∠DEO,

∴tan∠QPD=

,解得t=6

∴DQ=6×=12,

∴OQ=12-1=11

∴Q点坐标为(0,-11),

综上所述,Q点的坐标为(0,5)或(0,-11).

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网