题目内容
【题目】如图,在△AOB中,∠AOB为直角,OA=6,OB=8,半径为2的动圆圆心Q从点O出发,沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点A出发,沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动.设运动时间为t秒(0<t≤5)以P为圆心,PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D,连结CD、QC.
(1)当t为何值时,点Q与点D重合?
(2)当⊙Q经过点A时,求⊙P被OB截得的弦长.
【答案】
(1)解:∵OA=6,OB=8,
∴由勾股定理可得:AB=10,
由题意知:OQ=t=AP=t,AC=2t,
∵AC是⊙P的直径,
∴∠CDA=90°,
∴CD//OB,
∴△ACD∽△ABO,
∴ =
,即
=
,
∴AD= t,
∵D与Q重合,
∴ t+t=6,
解得t=
(2)解:如图,过点P作PE⊥OB于点E,⊙P与OB相交于点F、G,连接PF,
当⊙Q经过A点时,OQ=OA﹣QA=4,
∴t= =4s,
∴PA=4,
∴BP=AB﹣PA=6,
∵∠PEB=∠O=90°,
∴PE//OA,
∴△PEB∽△AOB,
∴ =
,即
=
,
∴PE= ,
∵PF=PA=4,
∴Rt△PEF中,由勾股定理可得EF= =
,
由垂径定理可求知:FG=2EF= ,
故⊙P被OB截得的弦长为
【解析】(1)由题意知CD⊥OA,所以△ACD∽△ABO,利用对应边的比求出AD的长度,若Q与D重合时,则,AD+OQ=OA,列出方程即可求出t的值;(2)由于0<t≤5,当Q经过A点时,OQ=4,此时用时为4s,过点P作PE⊥OB于点E,利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长.
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和垂径定理的相关知识点,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧才能正确解答此题.
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【题目】列方程解应用题:五莲县新玛特购物中心第一次用5000元购进甲、乙两种商品,其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件,甲、乙两种商品的进价和售价如下表(注:获利=售价﹣进价)
甲 | 乙 | |
进价(元/件) | 20 | 30 |
售价(元/件) | 29 | 40 |
(1)新玛特购物中心将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润?
(2)该购物中心第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品,其中甲种商品的件数不变,乙种商品的件数是第一次的3倍;甲商品按原价销售,乙商品打折销售,第二次两种商品都销售完以后获得总利润比第一次获得的总利润多160元,求第二次乙种商品是按原价打几折销售?