题目内容

【题目】如图,在△AOB中,∠AOB为直角,OA=6,OB=8,半径为2的动圆圆心Q从点O出发,沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点A出发,沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动.设运动时间为t秒(0<t≤5)以P为圆心,PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D,连结CD、QC.
(1)当t为何值时,点Q与点D重合?
(2)当⊙Q经过点A时,求⊙P被OB截得的弦长.

【答案】
(1)解:∵OA=6,OB=8,

∴由勾股定理可得:AB=10,

由题意知:OQ=t=AP=t,AC=2t,

∵AC是⊙P的直径,

∴∠CDA=90°,

∴CD//OB,

∴△ACD∽△ABO,

= ,即 =

∴AD= t,

∵D与Q重合,

t+t=6,

解得t=


(2)解:如图,过点P作PE⊥OB于点E,⊙P与OB相交于点F、G,连接PF,

当⊙Q经过A点时,OQ=OA﹣QA=4,

∴t= =4s,

∴PA=4,

∴BP=AB﹣PA=6,

∵∠PEB=∠O=90°,

∴PE//OA,

∴△PEB∽△AOB,

= ,即 =

∴PE=

∵PF=PA=4,

∴Rt△PEF中,由勾股定理可得EF= =

由垂径定理可求知:FG=2EF=

故⊙P被OB截得的弦长为


【解析】(1)由题意知CD⊥OA,所以△ACD∽△ABO,利用对应边的比求出AD的长度,若Q与D重合时,则,AD+OQ=OA,列出方程即可求出t的值;(2)由于0<t≤5,当Q经过A点时,OQ=4,此时用时为4s,过点P作PE⊥OB于点E,利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长.
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和垂径定理的相关知识点,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧才能正确解答此题.

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